式（6-25a)是输入型DEA对偶模型，其中对偶变量日的取值尽管无限制，但实 际上有00，i=1，2，… m;;>0,j=1，2…,0,则称被评单位k。 是DEA有效的。 这里不加证明地给出如下结果，如果读者想了解证明过程，请参考相关文献 (魏权龄，2004）。 定理6-12R模型都具有最优解，并且min0=maxByA。<1。 定理6-2至少存在一个决策单元是DEA有效的。
定理6-3决策单元的弱DEA有效和DEA有效与输入量和输出量的量纲 无关。 定理6-4决策单元的各输入、输出量同倍增长不会影响决策单元的弱DEA 有效性和DEA有效性。 定理6-5C2R的输人模型和输出模型的原问题具有相同的最优解，并且最 优目标函数值互为倒数；min E。 而axE云”对偶问题的最优解满足关系(6-26)。 以上定理为DEA法奠定了理论基础，通过这些定理可以得出以下结论。
（1）R模型都存在最优解，几种模型的最优解是等价的。
（2）DEA有效性评价与输入、输出量量纲无关，也与它们的同倍增加和减少 无关。
(3）DEA有效性评价实际上是各决策单元之间相对比较后得出的结果，是相 对有效性评价。
(4)各决策单元必须是同一类单元，相互之间具有可比性，用于评价的输入输 出量种类相同（数值不同）。
另外，在DEA模型（6-24)中，如果约束条件数n和决策变量a，、β个数 （m+o)之间，满足关系(m十o）>n+1，则根据基本可行解的特性，最优的基本可 行解中必有决策变量等于0，那么能否根据DEA有效性的定义6-2，就断定该决策 单元只是弱DEA有效的?一般不能。因为在这种情况下，C2R模型可能存在无 穷多最优解，其中最优解凸集的顶点在坐标轴上，凸集的内点都是最优解，这些内 点中可能存在各决策变量都大于零的点，此时是DEA有效的。 例6-3在例6-2中，以航线为决策单元，n=5，投入是运行成本，产出包括收 益、贡献值和需求，因此，m=1，o=3。表6-7给出了投入和产出量的具体数值，现 评价这5条航线的有效性。 解取航线1为被评单位：ko=1，并令x=a3，y1=a1，y2=a2，y3=a4。根据 表6-7的数据，输出型DEA对偶模型如下： 以其他航线为被评单位，可以给出另外4个类似的模型，可用ILOG/CPLEX 编程求解给出，即对于航线1：A:=0，iA3，p3=1.25，～1.125 对于航线2：A:=0，i决3，p3=1.25,7'=1.o227 对于航线3：pi=0，i3，p3=1.0，=1.6 对于航线4：p1=0，iA3，p3=1.5，7=1.680 对于航线5：p:=0，i产5，5E1.0.7c1.6 根据定理6-5和定义6-1可知，只有航线3和航线5至少是弱DEA有效的， 其他三条航线都是非DEA有效的。
根据定理6-2可知，在航线3和航线5中至少 有一条是DEA有效的。根据互补松弛定理可知，对于航线3和航线5的情况，由 子对偶问题约束条件的松弛变量都等于0，很有可能原问题的决策变量最优解a、 a20.k=1,2.3,4,5，带想这两条航线都是DEA有效的。请同学们通过计算原间 题最优解ax、BA来验证这个结论。 DEA法不能给出被评对象的优劣排序，只能评价其是否DEA有效。对于上 例，我们无法再给出航线3和航线5谁更好些。对于非DEA有效的航线1、航线2 和航线4，是否能根据最优解的结果，给出航线1最差的结论?请同学们讨论这个 问题。 从上述讨论可以看出，DEA法不受主观判断的影响，权重只受选择的输入量 和输出量影响，也就是如果选择不同的输人量和输出量，评价结果可能不同。
例如，如果把需求从输出量中删除，也就是本公司对需求大小（市场份额）不太关心， 则重新进行DEA分析发现，航线5的效率系数成为 对于航线5：p:=0，i3，p3=1.0，7=1.2 其他航线的效率系数不变。因此，航线5已变成非DEA有效的了，此时只有 航线3是DEA有效的。 上述结论与层次分析法产生的结果不太一致，层次分析法评价的结果排在前 面的不一定是DEA有效的。因为层次分析法分析的结果受权重影响比较大，权 重是由专家在属性之间两两比较后给出的，受主观因素影响比较重，所以只能通过 一致性检验判断权重的合理性。
