机组空运航班环优化问题的算法通常有两大类；精确解法和启发式解法。精确解法一般采用分枝定界法，对于式（5-14）和式（5-16)，首先放松x，取值0或1的限 制，允许0≤35<1，把间题松弛为线性规划问题。使用列生成法、单纯形法或内点 法求解，得到最优解的目标函数值，将它定为本问题目标函数的下界三，上界可取 为=max（cG。取接近1的小数变量进行分枝，即令x，=1和x，=0分别作为 约束条件加人模型（5-14），形成两个子问题节点。
在第一个子问题中，令约束条 件中x=1，以及与x，含有相同空运航班的空运航班环变量都等于零，对第二个子问题，令 所有约束条件中的x；=0，再对其他变量求解这两个子问题。当求得某分枝子问 题的整数解时，若目标函数小于上界，则用它更新目标函数的上界，否则剪去该枝； 如果某分枝子问题仍含有小数解，且目标函数大于下界，则用它更新下界，并继续 用接近1的变量进行分枝，若目标函数大于上界，则剪去该枝。如此不断进行下 去，直到不能再分枝，此时最好的整数解即机组空运航班环优化问题的最优解；或者目 标函数的上下界的误差小于给定的误差界，此时具有下（上)界目标函数值的整数 解为最优解。 将分枝定界法与列生成法相结合求解整数规划问题是一种比较有效的算法， 称为分枝定价法(branch-and-pricing)。使用该解法时，首先用5.4.3节的算法找 出足够多的可行空运航班环（不需要全部求出，能含有所有空运航班即可），形成限制主问 题，应用单纯形法求解该限制主问题，得到它的最优解和对偶解。
作为空运航班连接网 络边的长度，给空运航班连接网络的每条边标注机组成本与对偶变量值的差，再求解该 网络的约束最短路问题（称为定价问题，pricing)。如果约束最短路的长度小于零， 则生成该略径的“列”，加入限制主问题中，再求解。如此迭代进行，直到约束最短 略长度不小于零，最后获得了松弛问题的最优解。这样的解法不需要一次性求出 所有可行空运航班环，可大大减少计算量。 应用启发式算法求解机组任务配对问题是一种适当的选择。启发式算法的特 点是速度快、效率高，但不能保证获得全局最优解。常用的启发式算法是宏启发式 类，如Tab山算法、选传算法、蚁群算法等。对于机组排班问题，遗传算法比较适 食。特别是多目标规划模型，可以将各目标函数综合起来作为适应度函数的一部 分，产用德的算子将约束条件并人适应度函数。由于该问题的变量是Q-1型的，因 此维网斯常方便，河采用01编码。首先随机抽取足够多的空运航班串，个体的长度等 。线区的空运航班环数。选取的空运航班环数与空运航班数同一量界即可，不需要太多。
空运航班 香效真太，要队注部，您个体进长，不易表达，而且消耗存储空间太大。加之本问题 是一个严重退化问题，存在大量等于等的基变量，个体太长也活益。这样：交叉相 这是一个小规模的问题，很容易求得它的最优解是x3=x7=1，其他变量等于 0；或者x的=x的=1，其他变量等于0。此时，最小成本minz=8.667千元。可见 例5-3的空运航班计划只需要两个机组即可完成，他们飞行的任务配对分别如下。 S.:0-3-4-8或写成城市顺序形式为 :1-25-6-7或写成城市顺序形式为 另一个最优解如下。 S品:0-3-4-7或写成城市顺序形式为 Sa:1-2-5-6-8或写成城市顺序形式为 总飞行小时都是520min。
对于例5-5，进一步讨论以下问题。
（1）如果采用集合覆盖模型，即允许加机组，结果将怎样?由于集合分割模型 存在可行解，这说明空运航班计划可以很好地衔接，不需要加机组。此时即使允许加机 组，也因为要求总成本最小而不产生加机组，因此将产生相同的最优解。只有在航 班衔接存在困难时，才不得不加机组。
（2）本例采用了机组任务配对问题的基本模型，没有考虑其他目标。现在可 以进一步考察这两个解的其他目标特性。从表5-4可以获得这两个解的值勤时间 和工作效条相同，分别是19.33h和0.48。尽管看上去工作效率不到Q.5.但对 于本例的空运航班计划，都是短航程的支线空运航班，每个空运航班的飞行时间一般都不超过 h，m过h必须满定最小衔接时间限制，这个结果应该是不错的。机组工作效率 纯再安纯空运航班的：西内啊”，除非的化支线航空的空运航班过站于续，并缩短机组最小有接 时间。此时可把空运航班计划安排得更加紧凑一些。
3、最优律的两航西语的目标特性有些不同，例如，第一个最优解的空运航班环s 辅8分判含有1个高班和5个空运航班，飞行时间分别是3，831和4.34，值助时 间分别是11.83h和7.5h，工作效率分别是0.324和0.644，空运航班数和飞行时间比 被楼法得此种时间有较大差距。对机组来说，他价们更感意飞S。为公平是则，需 以轮换空运航班环。 28后个R方第一个华想此S行时间和空运航班数都相同。但和S。
